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A cor dos olhos de um indivíduo é determinada pela acção conjunta de vários genes. Esses genes são herdados do pai e da mãe.

Um determinado casal, em que tanto o homem como a mulher têm olhos castanhos, pretende ter dois filhos biológicos.

Admita que a probabilidade de qualquer filho, desse casal, ter olhos castanhos é igual a 0,75 , e que a probabilidade de ter olhos azuis é igual a 0,25.

Seja X a variável aleatória: «número de indivíduos com olhos azuis, de entre os dois filhos biológicos desse casal».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X

Apresente os valores das probabilidades em forma de dízima, com duas casas decimais.

Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, utilize duas casas decimais.

(TIM, Matemática B, Maio 2010)

Questão saída num exame nacional do 12ºAno

Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: espadas, copas, paus e ouros. De um baralho completo extraem-se sucessivamente e sem reposição, duas cartas. Qual é a probabilidade de pelo menos uma das cartas extraídas não ser de espadas? Apresenta o resultado na forma de fracção irredutível.

Três turmas do 12º da Escola da Camarinha têm resultados

que podem ser traduzidos matematicamente por três curvas de Gauss. Qual a turma mais homógenea? E a mais heterogénea? Qual das três turmas apresenta melhor média? E pior média? Com base nos elementos disponíveis podemos concluir que, em termos de resultados, uma das turmas é melhor que outra?

Um saco contém bolas brancas e bolas pretas, pelo menos uma de cada cor, num total de cinco.

Tiram-se, simultaneamente e ao acaso, três bolas do saco.

Seja X a variável aleatória «número de bolas brancas retiradas».

Sabendo que a variável X toma exclusivamente os valores 2 e 3, indique o número de bolas brancas e o número de bolas pretas que estão inicialmente no saco.

Numa pequena composição, explique o seu raciocínio.

(Questão 4, do Teste Intermédio de Dezembro de 2008)

Argumento irrefutável?

Esclareço uma dúvida ao Rui. Sem que me aperceba, na mesa ao lado, Teresa escuta. Escuta e discorda. Não compreende porque motivo não é possível existirem duas bolas pretas no saco. Como é que retirando três bolas de um saco onde estão cinco, é possível pronunciarmo-nos sobre as cores das bolas que ficam dentro do saco?

Se, por hipótese, forem extraídas duas bolas pretas a terceira bola pode ser branca, mas a variável aleatória X não toma o valor 1 (segundo o enunciado X=2 ou X=3) pelo que se exclui a possibilidade de existirem duas bolas brancas…

Então e as outras dentro do saco…? Que garantias tenho que não há uma preta…? Não está a perceber…?

Estou. De acordo com o teu raciocínio dentro do saco pode haver uma bola preta…ok, então vamos trocar a branca, da explicação anterior, por uma preta. Nesta condição, quantas pretas foram tiradas?

Três!

Fixe.

E quantas brancas foram tiradas?

Zero.

Nice!

E X pode tomar o valor zero?

Não só 2 ou 3…

Então…

Pois…hum… mas dentro do saco….

Duas pessoas marcam um encontro num determinado local. Combinam que ambos deverão chegar a esse local entre as 14 e 15horas. Porém, quando o primeiro chegar ao local, irá esperar 20 minutos pelo outro. Caso o outro não chegue ao local neste intervalo de tempo (20 min), o primeiro a chegar vai-se embora, e eles não se conseguem encontrar. Qual a probabilidade do encontro ocorrer ? BorisVGnedenko

Lançamento de dois dados: a saga continua.
Entre a calculadora gráfica e a folha de cálculo.

Da experimental distribuição de frequências à teórica distribuição de probabilidades.

Para uma simulação de 5050 lançamentos já se obtém uma interessante aproximação que, no limite, será o valor da probabilidade teórica.

À medida que o número de lançamentos aumenta, o desvio da frequência relativa face à probabilidade teórica tende para zero.

Jacob Bernoulli

Problema

Quantos operários trabalharam exclusivamente no período nocturno?

Simulação numa calculadora gráfica

Lançamento de dois dados perfeitos numerados de 1 a 6

Na imagem a soma igual a 6 ocorreu 561 vezes. Com estes elementos será possível saber o valor preciso do número de lançamentos? Ou conseguiremos apenas um aproximação do número de lançamentos? E essa aproximação será boa, i.é com pequena margem de erro?

Distribuição de frequências

Distribuição de probabilidade

Curva de Gauss

Recorrendo à calculadora gráfica (uma TI84 neste exemplo, ou uma Casio) pretende-se simular o lançamento de dois dados perfeitos (numerados de 1 a 6) e a correspondente soma dos valores obtidos. A função randInt utiliza-se para gerar um número aleatório de um intervalo especificado por um limite inferior e outro superior e também de um número inteiro referente ao número de tentativas (lançamentos no caso apresentado)

Comecemos com 50 lançamentos: randInt(1,6,50)

Para construir um gráfico: randInt(1,6,50)+randInt(1,6,50) ->L1

(STO L1, utiliza-se para enviar os dados obtidos aleatoriamente para uma lista que pode ser consultada no menu STAT->Edit)

A memória das calculadoras gráficas mais comuns é reduzida para simulações que envolvam números superiores a (apox.) 900...

De um bilhete de lotaria sabe-se que o seu número é formado por sete algarismos, dos quais três são iguais a 1, dois são iguais a 4 e dois são iguais a 5 (por exemplo: 1551414 ).
Determine quantos números diferentes satisfazem as condições anteriores.
(Exame Nacional, 12ºAno, 1ªFase - 2009)

Continuação do post de ontem:
Já não faltava tudo...(15!- x *5!*10!)/15!
Falta a contagem x, nos casos favoráveis.
Repara que entre os dez livros não matemáticos existem nove espaços, mais um antes e outro após... num total de 11 espaços.

_1_2_3_4_5_6_7_8_9_10_

Os cinco livros de matemática podem ocupar cinco desses onze lugares. Como a questão da ordem já está prevista noutra parte da resolução temos x=11nCr5=462.
A probabilidade pedida é 11/13
cool

O enunciado é mais ou menos assim: 15 livros, dos quais 5 são de matemática, são colocados numa prateleira. Qual a probabilidade de, pelo menos, dois livros de matemática ficarem juntos (lado a lado...)?

Proposta de resolução:

A contagem dos casos possíveis é concensual: 15!

Como é usual a contagem dos casos favoráveis exige mais cuidado e raciocínio.

Um procedimento habitual nestas situações de "pelo menos" envolve o complementar do acontecimento que se pretende calcular. Assim, P(pelo menos 2 livros...)= 1-P(todos os livros de matemática separados). Os livros de matemática podem permtuar entre si (5!) e os restantes também (10!). A contagem, no entanto, permanece incompleta...

Deixo a situação em aberto.

Amanhã termino...!

;)

Probabilidades e aviões

Problema colocado aos alunos (9ºano):
Num dado imperfeito, numerado de 1 a 6, a probabilidade de se obter a face 1 num lançamento ao acaso é 1/4 . Sabe-se que P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6). Qual a probabilidade de sair um 4 neste dado?
Resolução do André (envergonhadamente explicada no quadro aos colegas):
“A 1/4 corresponde 25%, sobram 75% para os restantes cinco acontecimentos, por isso vou dividir 75 por 5 que dá 15%. A probabilidade de sair 4 é 15%”
Resolução da Anaísa (timidamente explicada no quadro…)
“Se 1/4 é a probabilidade de sair 1 a probabilidade de saírem os restantes números é 3/4. Para saber a probabilidade de sair 4 faço 3/4:5 =3/4*1/5=3/20. P(4)=3/20”
Obs.: Foi o primeiro problema envolvendo um dado imperfeito…
Nice!

:)

Domínio temático – Probabilidades; Geometria / Capacidade matemática – Raciocínio
ESFERAS PERFUMADAS E PROBABILIDADES
Existem diferentes maneiras de perfumar uma casa. Uma delas é impregnar com perfume esferas de madeira especial e espalhá-las pela casa.
Algumas dessas esferas são comercializadas em caixas de forma paralelepipédica e pintadas com duas cores diferentes. As esferas são habitualmente todas iguais e estão arrumadas nas caixas, sem espaço entre elas.
As esferas tangentes têm cores diferentes.
Na imagem, é possível observar uma das vistas laterais de qualquer das caixas.

1. O Pedro comprou uma dessas caixas, com 15 esferas. Ao retirar uma das esferas da caixa, reparou que era branca. Qual é a probabilidade de isso acontecer?
2. As caixas têm, no máximo, 30 esferas. Em algumas dessas caixas, a probabilidade de retirar uma esfera preta é 0,5. Quantas esferas podem conter as caixas para que isso aconteça? Justifica a tua resposta.