maio 31, 2004

Público
O Presidente da República, Jorge Sampaio, classificou hoje a ciência e a educação como prioritárias para o desenvolvimento do país, na primeira conferência do ciclo "Prioridade à Ciência" no Pavilhão do Conhecimento, em Lisboa.
Para o chefe de Estado, educação,inovação, tecnologia e ciência são "questões essenciais" que se devem assumir como "prioritárias" sob pena de se "ficarpara trás".
O desenvolvimento científico e tecnológico é uma questão crucial do país.
30) Considera uma função f de domínio IR+. Admite que f é positiva e que o eixo Ox é assimptota ao gráfico de f. Mostra que o gráfico da função 1/f não tem assimptota horizontal.

31)
"Toda a função f com derivada nula num ponto de abcissa x0, pertencente ao Df , tem um extremo relativo da forma (x0;f(x0))"
Comenta a afirmação. O que podes afirmar sobre a veracidade do recíproco.

32) Sabe-se que uma função não é derivável em x=0, que
f '(x)=-1, para valores de x maiores que zero e f '(x)=1, quando x toma valores negativos.
Define analiticamente a função f
29) Determina o conjunto dos pontos do plano complexo, definido pela condição em z:
a) Re(z-iz)>=2
b) |1/z|>=2
c) 1 <|z-i|<2

maio 30, 2004

28) Uma nódoa circular de tinta é detectada sobre um tecido. O comprimento da nódoa, em centímetros, do raio dessa nódoa, t segundos após ter sido detectada, é dado por
r(t)=(1+4t)/(2+t), t não negativo.

a) Calcula r(0) e lim r(t) quando t tende para mais infinito e diz qual é o significado físico destes valores.
b) Calcula, com aproximação à décima de segundo, o instante para o qual a área da nódoa é igual a 30cm2
c) Diz qual é o significado do seguinte limite:
lim (r(t)-r(0))/t, quando t tende para zero mais.
27) No bar de uma escola estão à venda cinco tipos de pastéis (laranja, feijão, nata, coco e amêndoa). Quatro amigos, João, Maria, Paulo e Rui, decidem comer um pastel cada um. O João escolhe pastel de laranja ou de feijão. A Maria não escolhe pastel de nata. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os pastéis?
(A) 5C4 (B) 5*5+4+2 (C) 5*5*4*2 (D) 5A4

maio 29, 2004

23) Determina o conjunto dos pontos do plano complexo, definido pela condição em z:
a) arg z=pi/4 e |z |=2
b) |z-2-3i|<4
c) 3|z-3i|<9 e Re(z)>3

24)
Mostra que para todo o z pertencente ao conj. dos núm. complexos
a) Re(z)=(z+conjugado de z)/2
b) Im(z)=(z-conjugado de z)/(2i)

25) Estuda analiticamente a função h dada por
h(x)+2sen x=x, no intervalo aberto (0,2pi)

26) Determina o volume da maior esfera que cabe dentro de um cubo cuja área de superfície mede 54cm2?

maio 28, 2004

TRÂNSITO de VÉNUS

Segundo a interpretação de uma criança alemã de 6 anos - Niall


maio 27, 2004

98000 são os candidatos à universidade.
Vagas?46400!

maio 26, 2004

TRÂNSITO de VÉNUS
Faltam 13 dias.
Página da Associação Portuguesa para o ensino da Astronomia
"No dia 8 de Junho próximo, o planeta Vénus atravessará lentamente o disco solar, durante toda a manhã. Este acontecimento é muito raro e durará aproximadamente 6 horas."

maio 20, 2004

22) Seja f uma função real de variável real.
Sabe-se que f(2)=f(5)=2.f(0). Será que f é invertível? Porquê?
IMAGENS com GEOMETRIA

Fotografia de cristais de gelo.

maio 19, 2004

21) Um tecido atacado com vírus é exposto aos raios x. O número de células virais sobreviventes depende da quantidade de radiação x dada pela fórmula N(x)=M.e^(-0,2x)
- Qual o valor x que corresponde a 95% de células virais destruídas?
- Parece não ser possível exterminar todos os vírus por este processo. Porquê?
- Qual a taxa de variação de N para x=10 unidades?

maio 17, 2004

20) Qual é o próximo número da seguinte sequência, de modo que se mantenha a regularidade.?
1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, ....

maio 16, 2004

Imagens com GEOMETRIA

Capa da revista BAUHAUS
Herbert Bayer, 1928

maio 15, 2004

i) CIÊNCIA VIVA - programa criado em 1996 por Mariano Gago, com o objectivo de promover a cultura científica e tecnológica junto da população em geral e das escolas em particular. Oito anos depois, os sucessivos cortes de verbas e a sua distribuição por várias entidades colocam em risco este original e dinâmico projecto. Vários países europeus implementaram programas semelhantes com base neste exemplo português, facto digno de nota num país mais habituado a copiar.


ii) O investigador Xavier Malcata defende que, para proteger e motivar os seus cérebros, o Estado deveria ter "uma visão de médio e longo prazo e, sobretudo, uma vontade política de investir recursos financeiros..." e que "...estratégias como esta não são compatíveis com mandatos, relativamente curtos, dos governos."

iii) O primeiro-ministro cancelou uma visita de Estado ao México para poder assistir à final da Taça dos Campeões Europeus. É uma clara visão de curto prazo.

maio 14, 2004

O que é que vem embrulhado em meia tonelada de papel e entregue ao comprador num saco de plástico?
É o artigo do Nuno Crato no Expresso...!

Segue-se um texto escrito por Nuno Crato - matemático e reconhecido divulgador das ciências- no dito semanário sobre a relação entre a GEOMETRIA FRACTAL e a PINTURA de Jackson Pollock.

Jackson Pollock (1912-1956) é mundialmente conhecido pelos seus gigantescos quadros que combinam riscos coloridos, pingos de tinta, espirais extensas e traços ritmados. Mas é igualmente conhecido pela polémica que a sua arte tem gerado. Houve quem dissesse que um macaco poderia pintar telas mais interessantes e quem achasse que era impossível distinguir entre as suas pinturas e riscos puramente aleatórios. Como pintaria esse homem essas telas tão estranhas?
Em 1950, um fotógrafo nova-iorquino chamado Hans Namuth conseguiu que Pollock o autorizasse a fotografá-lo em acção. Combinada a data, Namuth apareceu no estúdio do pintor, um celeiro nos subúrbios de Nova Iorque para onde Pollock se tinha deslocado em 1945, depois de ter vivido durante cinco anos na grande metrópole norte-americana.
Quando chegou à residência do pintor, Pollock disse-lhe que nesse dia, afinal, não havia nada a fotografar, pois tinha acabado de dar os retoques finais numa pintura e não iria começar outra. Levaram-no para o celeiro, onde o quadro jazia no chão, ainda húmido. Ficaram a apreciar a tela. Jackson Pollock começou a dar voltas ao quadro, mas havia algo que visivelmente o inquietava. Namuth não podia imaginar do que se tratava. Poderia faltar alguma coisa ou haver algo a mais naquele amontoado de riscos aparentemente aleatórios? Subitamente, o pintor parou, agitou-se e foi buscar um balde de tinta. Olhou de novo e começou a aspergir o quadro. Namuth começou a tirar fotografias.
Dias depois, o fotógrafo mostrou-lhe as imagens. Pollock e a mulher, a pintora Lee Krasner, gostaram e deram-lhe carta branca para continuar o seu trabalho. Namuth passou longas tardes com o pintor e tirou inúmeras fotografias. Finalmente, convencido que as imagens fixas não conseguiam revelar a complexidade do trabalho de Pollock, fez um curto documentário. O filme tem sido passado vezes sem conta, em exposições, estúdios e na televisão, e é considerado um documento precioso sobre o trabalho do artista. Revela a sua técnica, mostrando que Pollock pintava um quadro por camadas, começando com traços grossos numa cor base. Seguidamente, fazia traços mais finos, produzidos com longos movimentos do braço, deixando cair rios de tinta e salpicos. Finalmente, efectuava movimentos mais curtos, lançando finos riscos e pequenos pingos sobre a tela. As imagens de Namuth revelaram um processo muito complexo e muito pouco arbitrário de construir a pintura.
Recentemente, o físico Richard Taylor, resolveu analisar o processo de pintura de Pollock com instrumentos matemáticos modernos. Taylor, que estudou arte na sua juventude, suspeitava que o apelo visual dos quadros de Pollock tinha algo a ver com a sua semelhança com imagens da natureza, formadas por processos caóticos que produzem fractais. Imaginava que isso fosse derivado de várias peculiaridades do seu processo de pintura.
Ao contrário dos pintores que o precederam, que utilizavam uma tela sobre o cavalete, Pollock pintava sobre uma superfície horizontal e deixava actuar a força da gravidade sobre a tinta. Igualmente ao contrário dos pintores anteriores, Pollock não utilizava os pincéis para produzir pequenos traços controlados, mas sim para deixar cair e para atirar tinta sobre a tela. Há grandes semelhanças, argumentou o físico australiano, com o que acontece na natureza, que salpica as paisagens de relevos e de vegetação.
Para melhor compreender o processo, Richard Taylor construiu um aparelho para deixar cair tinta de forma ritmada. Esse aparelho começou por ser apenas um pêndulo que tinha na ponta uma espécie de regador. À medida que o pêndulo oscilava, deitava tinta sobre uma tela situada no solo, produzindo riscos. Com um movimento dotado apenas de algumas irregularidades, o resultado é uma tela preenchida com riscos relativamente simples.
O físico australiano decidiu depois animar o pêndulo de um movimento caótico. Pêndulos desse tipo podem ser apreciados em vários museus de ciência. Habitualmente são formados por dois sistemas pendulares acoplados. Movem-se de forma complexa e aparentemente descontrolada, com irregularidades impossíveis de prever, apesar de serem causadas por processos físicos deterministas conhecidos. Umas vezes balançam-se lentamente, para imediatamente oscilarem de forma muito rápida. Subitamente, parecem interromper o seu movimento, surpreendendo o observador. Esses pêndulos dizem-se caóticos, pois pequenas alterações das condições iniciais produzem a prazo movimentos radicalmente diferentes. Daí deriva a impossibilidade de previsão das suas posições futuras. Sendo impossível caracterizar de forma absolutamente precisa a posição inicial e as forças que actuam sobre o pêndulo, torna-se impossível prever o seu movimento a longo prazo, mesmo não havendo no sistema nada de aleatório.
Situação completamente diferente é a dos pêndulos normais, como os que se usavam nos relógios de parede. Nestes últimos casos, qualquer que seja a situação de partida tem-se uma ideia bastante precisa do movimento com que o pêndulo estará animado daí a algum tempo. Daí que sirvam para medir o tempo. Se não fosse assim, ninguém poderia confiar nos relógios.
Para dotar o seu pêndulo de um movimento caótico, Taylor construiu um sistema electromagnético que o empurrava periodicamente, mas com período diferente do do próprio pêndulo. Os traços de tinta resultantes desse movimento revelam uma grande semelhança com os traços da pintura de Pollock, conforme se pode apreciar na figura.
Mas o mais interessante é que os traços gerados pelo pêndulo caótico revelam dimensões fractais, ao contrário dos gerados por pêndulos simples. Perceber com precisão o que isso significa não é fácil, pois os conceitos matemáticos que entram na definição rigorosa de fractais são complexos e envolvem a destrinça entre as chamadas dimensões topológica e de Hausdorff-Besicovitch. Mas há uma propriedade geométrica dos objectos fractais que é simples de entender: nesses objectos, os motivos repetem-se de forma semelhante a diferentes escalas. Se olharmos para uma folha de árvore, por exemplo, vemos nervuras que se bifurcam, gerando nervuras mais finas. Se pegarmos numa lupa e observarmos de novo essas nervuras mais finas, voltamos a notar que elas se subdividem, gerando nervuras ainda mais ténues. Se usarmos um microscópio, podemos observar um motivo semelhante. A estrutura de nervuras de uma folha revela características fractais.
Se a folha tivesse uma nervura única e rectilínea, não seria um fractal - esse sistema poderia ser considerado de dimensão um. Mas as nervuras das folhas subdividem-se e multiplicam-se por toda a sua superfície. Se elas enchessem completamente a folha, teriam dimensão dois, pois cobririam o plano. Mas o que se verifica é algo intermédio: à medida que aumenta a ampliação com que observamos a folha, surgem novas nervuras anteriormente invisíveis, constituindo uma rede que quase enche o plano. Pode considerar-se que esse sistema de nervuras tem uma dimensão fractal, com um número situado entre um e dois, tão mais perto de um quanto mais simples for e tão mais perto de dois quanto mais densa for a rede que a ampliação sucessiva revela. Em objectos estatisticamente fractais, como os que aparecem na natureza, não são exactamente os mesmos motivos que ocorrem ao se mudar de escala, mas são motivos com propriedades estatisticamente semelhantes.
Para medir a dimensão fractal de objectos que vivem num plano, pode dividir-se esse plano em quadrados sucessivamente mais finos e verificar como se repetem os motivos à medida que se muda de escala. Foi precisamente isso que Taylor e os seus colaboradores fizeram, obtendo estimativas muito precisas de dimensões fractais nos quadros de Pollock. As conclusões do seu estudo são muito claras: o pintor criava telas com uma dimensão marcadamente fractal e, à medida que aperfeiçoou a sua técnica, foi criando quadros cada vez mais complexos, de dimensão fractal superior.
Em 1943, as pinturas de Pollock tinham uma dimensão fractal modesta, pouco superior a 1. Esse é o caso, por exemplo, de «The Flame» (A Chama), de 1937, que não tem uma fractalidade marcada. Depois disso, quando criou e aperfeiçoou o método de pintura por lançamento de tinta, criou telas de características fractais muito mais vincadas. Esse é o caso, por exemplo, da sua pintura «Reflection of the Big Dipper» (Reflexão da Ursa Maior), de 1947, com uma dimensão fractal de 1,45, valor perto do estimado para estruturas da natureza, como, por exemplo, a costa da Grã-Bretanha.
Jackson Pollock foi explorando sucessivamente a complexidade das suas pinturas.

Na tela «Blue Poles», de 1952, atingiu a dimensão fractal mais elevada de entre as estudadas por Taylor: 1,72. Ao que parece, o pintor estava explorando os limites do que a vista humana poderia julgar esteticamente agradável. Será que esse limite está determinado pela natureza e pode ser revelado pela linguagem da matemática?

maio 13, 2004

O Público refere que...Durante os próximos dias, milhares de milhões de cigarras vão invadir a zona leste dos Estados Unidos. Depois de 17 anos debaixo da terra, estes insectos preparam-se para atingir a superfície e concluir as últimas três semanas do seu ciclo vital. O "Enxame X", como é conhecido, é a mais significativa emergência em massa destes inofensivos insectos e promete cobrir casas e edifícios, alcatifar ruas e quintais em 15 estados norte-americanos, do norte da Geórgia até ao sul de Nova Iorque. A densidade estimada pelos especialistas é de 3,5 milhões de cigarras por hectare.

Qual a quantidade estimada de cigarras por metro quadrado?

maio 12, 2004

FRASE
Se não receio o erro é porque estou sempre disposto a corrigi-lo

Bento J. Caraça
Diálogo...
A
- Imagina um polígono com quatro lados geometricamente iguais...
B- Ora, grande dificuldade, trata-se, é obvio, de um QUADRADO!
A- Se fosse a ti, não tinha tanta certeza.
B- Estou a ver. Queres é enganar-me!
A- Última oportunidade para pensares melhor...
B- Não é necessário, não tenho dúvidas que é mesmo um quadrado.

Será que todo o polígono com quatro lados geometricamente iguais é um quadrado?
Será que a intenção de A é mesmo baralhar e enganar B? Ou está a tentar que não se precipite com excessos de confiança?

maio 10, 2004

Blog e matematica, una lezione intelligente
Il weblog è uno strumento semplice e versatile con cui si potrebbe con poca fatica far circolare molte informazioni utili

maio 09, 2004

IMAGENS com GEOMETRIA

Casa em madeira
(escadas e vista lateral) La Villette - Paris; Projecto da jovem dupla de arquitectos Beckmann-N'Thépé
Blogue português sobre Química. O endereço será colocado na coluna à direita na secção linkáqui.

maio 07, 2004

19) ____? ____?____?

Que palavra de três letras será esta que, sabendo que:
MÊS não tem nenhuma letra em comum;
SIM tem uma letra comum, mas não está no devido lugar;
RÓI tem uma letra comum, situada no devido lugar;
ROL tem uma letra comum, que não está no devido lugar;
MOA tem uma letra comum, que não está no devido lugar
e-mail enviado pela Filipa:
Eu estive a ver o blog e, como já disse, gostei. Acho que tem muitos assuntos interessantes em relação à matemática. Agora, só gostava de saber como é que se resolve o problema do queijo que está no blog, pois já estive a pensar no problema e não chego à solução. Pelo menos uma pista.

Que tal empilhar os bocados que resultam de dois cortes...!?
Depois já podes convidar 7 colegas para comer umas sandes sem ninguém ficar prejudicado...

maio 06, 2004

Atenção, VÍRUS!
Sasser (W32/Sasser) s'attaque aux systèmes Windows 2000, Windows Server 2003 et Windows XP, selon la société américaine de sécurité informatique Symantec.
La nouvelle version du virus informatique Internet Sasser, le Sasser B, affectait dimanche 3,17 % des ordinateurs dans le monde, selon un pointage effectué par la société antivirus Panda Software. Selon elle, le niveau d'alerte de ce virus est actuellement de couleur orange.
Des détails sur la manière d'éliminer le virus sont disponibles sur (http://securityresponse.symantec.com).

18) Um ciclista subiu uma colina à velocidade de 10 km/h e desceu a uma velocidade de 20 Km/h. Qual foi a velocidade média da viagem (ida e volta)?

maio 05, 2004

17) Como cortar um queijo circular em oito partes iguais, com três cortes, mas todos "ao alto"?

maio 04, 2004

Olá pessoal dos oitavos G e H!
Bem vindos ao Vizir e à blogosfera.


Um famoso matemático alemão, Gauss, quando jovem aluno recebeu um castigo da professora resultante do seu comportamento menos satisfatório. Além de estar proibido de ir ao recreio brincar, o jovem Gauss, na altura com 10 anos, teria a tarefa de somar os 100 primeiros números naturais...
Foi uma ocasião para mostrar o seu génio intelectual, pois em menos de cinco minutos resolveu correctamente o problema/castigo, sem recorrer a calculadoras ou ao Excel...porque nesse dia de 1787, reza a história, terá faltado a electricidade...!
Reparem num possível raciocínio:
-Contrariamente a uma mente comum, que efectuaria a soma parcela a parcela, Gauss constatou que a soma do primeiro número com o último era igual à soma do segundo com o penúltimo, do terceiro com o antepenúltimo e assim sucessivamente...
Juntando os números deste modo, ou seja dois a dois, passou a ter metade das parcelas, isto é 50. Assim rápida e genialmente transformou a soma numa multiplicação, 50 vezes 101 cujo resultado é 5050.

1+2+3+....+98+99+100=50 . 101=5050


Limpinho!!



16) Proponho-vos que sigam o raciocínio de Gauss para efectuar a soma dos primeiros 500 números naturais, ou seja, 1+2+3+4+........+498+499+500.


A) 25050 B) 125250 C) 50500 D) Nenhum dos anteriores

maio 02, 2004

Os eslovacos são educados: gostam de ler, falam baixo, não gritam nos cruzamentos evitam estacionar em cima dos passeios ou em segunda fila, não sujam as ruas, são pontuais,...
Visão, pág 115
Comparação Portugal-Eslováquia em números:
Carros (por 100 habitantes): Portugal,35- Eslováquia, 24
Telemóveis (por 100 habitantes): Portugal,82- Eslováquia, 54
Salário Mínimo em euros: Portugal,416- Eslováquia, 118
Desemprego: Eslováquia, 17,1% - Portugal, 6,4%
Inflação: Eslováquia, 8,5% - Portugal, 3,3%
Computadores (por 100 habitantes): Eslováquia, 18- Portugal, 10
Jornais diários (nº de cópias por 1000 habitantes): Eslováquia, 131- Portugal, 91

Conclusão:...