Edito

Les mathématiciens sont des explorateurs. Le plus intéressant pour eux n’est pas tant de « résoudre des problèmes » que de définir des buts à atteindre et, surtout, de découvrir des paysages inédits sur les routes qu’ils empruntent pour y parvenir. Les diverses explorations du XXe siècle ont été très fructueuses. Au fil des démonstrations de théorèmes, tel celui de Fermat, ou de conjectures, telle celle de Poincaré, des passerelles ont été jetées entre des régions très différentes des mathématiques. Le XXIe siècle sera tout aussi passionnant. En particulier grâce aux liens des mathématiques avec les autres sciences. Champs habituels d’applications, celles-ci sont sources de problématiques purement mathématiques. Avec la physique, les interactions, anciennes, sont toujours aussi riches. Avec la biologie et, surtout, l’informatique, née il y a à peine plus de cinquante ans, elles commencent, mais leurs promesses sont immenses.

La Recherche

"VOCÊS OS TRÊS...FAÇAM UM QUADRADO!"
Sr. J.Jesus, Treinador

Desconcertante
Quanto é que tive no teste, stôr? Negativa, não foi...?
Não, tiveste 12.
12? Só...?
??!

Mathematics is made of 50 percent formulas, 50 percent proofs, and 50 percent imagination

Três turmas do 12º da Escola da Camarinha têm resultados

que podem ser traduzidos matematicamente por três curvas de Gauss. Qual a turma mais homógenea? E a mais heterogénea? Qual das três turmas apresenta melhor média? E pior média? Com base nos elementos disponíveis podemos concluir que, em termos de resultados, uma das turmas é melhor que outra?

Um saco contém bolas brancas e bolas pretas, pelo menos uma de cada cor, num total de cinco.

Tiram-se, simultaneamente e ao acaso, três bolas do saco.

Seja X a variável aleatória «número de bolas brancas retiradas».

Sabendo que a variável X toma exclusivamente os valores 2 e 3, indique o número de bolas brancas e o número de bolas pretas que estão inicialmente no saco.

Numa pequena composição, explique o seu raciocínio.

(Questão 4, do Teste Intermédio de Dezembro de 2008)

Argumento irrefutável?

Esclareço uma dúvida ao Rui. Sem que me aperceba, na mesa ao lado, Teresa escuta. Escuta e discorda. Não compreende porque motivo não é possível existirem duas bolas pretas no saco. Como é que retirando três bolas de um saco onde estão cinco, é possível pronunciarmo-nos sobre as cores das bolas que ficam dentro do saco?

Se, por hipótese, forem extraídas duas bolas pretas a terceira bola pode ser branca, mas a variável aleatória X não toma o valor 1 (segundo o enunciado X=2 ou X=3) pelo que se exclui a possibilidade de existirem duas bolas brancas…

Então e as outras dentro do saco…? Que garantias tenho que não há uma preta…? Não está a perceber…?

Estou. De acordo com o teu raciocínio dentro do saco pode haver uma bola preta…ok, então vamos trocar a branca, da explicação anterior, por uma preta. Nesta condição, quantas pretas foram tiradas?

Três!

Fixe.

E quantas brancas foram tiradas?

Zero.

Nice!

E X pode tomar o valor zero?

Não só 2 ou 3…

Então…

Pois…hum… mas dentro do saco….

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O APARELHO de GALTON

Galton no Mathworld

Apllet

Cada bola que entra no aparelho tem cinco troços para atingir a base do mesmo. Em cada bifurcação existem duas possibilidades: esquerda ou direita. Temos, à entrada duas hipóteses, de seguida quatro (e,e); (e,d); (d,e) e (d,d), depois 8, 16 e, finalmente, 32.

A probabilidade de uma bola atingir (ver setas a vermelho, duas vezes à direita e três à esquerda) o sector C é igual a: 5C2*0,5^2*0,5^3 (Obs.: 5C2=5C3; 5C3*0,5^3*0,5^2)

a) Escreve todas as sequências que representam caminhos para chegar a E. (d-direita; e –esquerda)

b)Se deitarmos no aparelho 600 bolas, quantas podemos esperar que caiam em cada casa?

c) A promoção de certa marca de café usa um aparelho destes: dá prémios conforme a casa onde a bola do cliente vá parar. Onde te parece que devam estar os prémios mais valiosos?

Esquema de Bernoulli
Problema das Provas Repetidas
Qual a probabilidade de um basquetebolista, que encesta 90% das tentativas, encestar 18 dos 20 lançamentos efectuados?

Quantos caminhos (trajectórias) existem entre A e B, sabendo que não se pode voltar para trás e que só se pode andar em cima das linhas? Quantos desses caminhos passam por X?

Uma pirâmide quadrangular recta.
Um dos vértices da base coincide com a origem do referencial Oxyz
A secção apresentada resulta do corte da pirâmide pelo plano y=6
(...)

O Problema da duquesa da colmeia:

[PBF] é equilátero...

O Ducado das Colmeias tem a forma de um hexágono regular com 20km de lado. A Duquesa de Colmeias decidiu passear na sua carruagem ao longo do perímetro do Ducado. Tendo começado o passeio num vértice do hexágono, percorreu 50 km. A que distância do ponto de partida, medida em linha recta, se encontra a Duquesa?XXVIII OPM, 1ª eliminatória

Será que a duquesa foi interrompida na sua passeata por perigosos bolcheviques?hum...

...corte do paralelepípedo pelo plano OJB...
...coordenadas do simétrico de B em relação a G...
...equação do plano ABC...

... Qual a posição relativa da recta BD e CE?

(A) Paralelas

(B) Perpendiculares

(C) Concorrentes não perpendiculares

(D) Não complanares

...

Duas pessoas marcam um encontro num determinado local. Combinam que ambos deverão chegar a esse local entre as 14 e 15horas. Porém, quando o primeiro chegar ao local, irá esperar 20 minutos pelo outro. Caso o outro não chegue ao local neste intervalo de tempo (20 min), o primeiro a chegar vai-se embora, e eles não se conseguem encontrar. Qual a probabilidade do encontro ocorrer ? BorisVGnedenko

Centro Mário Dionísio

Um novo espaço cultural em Lisboa

Mário Dionísio por João Abel Manta

zOUT

Quem tem zON supostamente está on...supostamente.

versão dinâmica: aqui

Referencial cartesiano Oxyz: A mesma figura observada de dois ângulos diferentes...
Dois cubos; dois pontos médios, M e M1

Versão dinâmica: aqui

1.

Science et Vie - Dossier Spécial Photo

2.

Lançamento de dois dados: a saga continua.
Entre a calculadora gráfica e a folha de cálculo.

Da experimental distribuição de frequências à teórica distribuição de probabilidades.

Para uma simulação de 5050 lançamentos já se obtém uma interessante aproximação que, no limite, será o valor da probabilidade teórica.

À medida que o número de lançamentos aumenta, o desvio da frequência relativa face à probabilidade teórica tende para zero.

Jacob Bernoulli

Problema

Quantos operários trabalharam exclusivamente no período nocturno?